已知曲线C：y=x2/2，D为直线y=-1/2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B
（1）证明：直线AB过定点。
（2）若以E（0，5/2）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程。
解：
（1）做这种曲线题，图像肯定是灵魂所在，灵魂画手更是不可缺少的
聪明的你一定发现了y=-1/2就是抛物线C的准线。
我们设A（x1，y1）B（x2，y2）D（t，-1/2），设直线DA的斜率为K1，直线DB的斜率为K2。
求直线AB过定点肯定要把AB这条直线求出来，那么既然用到了D点，那肯定说明A，B，D之间有某种关系。
直线DA：y-y1=K1（x-x1），直线DB：y-y2=K2（x-x2），尽量把未知数减少。
这里就用到了导数，因为y=x2/2，所以y'=x，即K1=x1，K2=x2
所以，直线DA：y-y1=x1（x-x1）直线DB：y-y2=x2（x-x2）
把D点带入直线DA可得：
-1/2-y1=x1（t-x1）
-1/2-y1=tx1-x12
继续把未知数减少，因为A在抛物线C上，所以满足y=x2/2，继续化简可得：
-1/2-y1=tx1-2y1，最后可以得到，tx1-y1+1/2=0，此时直线AD就算出来了。
直线BD不用算了，因为B点和A点唯一的区别就是坐标左下角一个是2一个是1，所以我们把直线AD里面的x1和y1换成x2和y2就行。
直线BD：tx2-y2+1/2=0
由此可见，A，B在同一条直线上。
不能理解？
比如现在有一条直线为：x+3y=0，A点满足x1+3y1=0，B点满足x2+3y2=0，这就说明A，B在直线x+3y=0上。
所以，A，B都在直线tx-y+1/2=0
定点就是（0，1/2） 刚刚好就是抛物线的焦点！！！
有部分同学不知道定点怎么求，接下来介绍2种方法：
①因为t不确定，所以直线是不断在变化的，要先求定点，首先就要把t去除，此时令x=0，所以y解出来就是1/2了。
②反正是过定点，那么t取什么这条直线都要过定点，我们取1和2，然后再把x-y+1/2=0和2x-y+1/2=0联立，也能求出定点（0，1/2）。
第一题其实还有一种更快的方法，不用点斜式去求直线AD和直线BD的方程，直接用斜率来求。
因为直线AD的斜率是x1，斜率又等于（y1-yD）/x1-xD），所以x1=（y1+1/2）/（x1-t），很快就求出x和y的关系了，剩下的步骤同上。
（2）老规矩，画图再说。
设切点为N，连接AE，BE，EN。N（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2）
看到x1+x2，马上想到韦达定理。我们把直线AB和抛物线联立，可得x2-2tx-1=0，此时△＞0，x1+x2=2t，y1+y2=t（x1+x2）+1=2t²+1（由第一题可知tx-y+1/2=0）
题目似乎已经没有其他可用信息了，但是我们此时应该想到EN⊥AB
这个是题目的一个隐含条件。根据垂直能联立的式子有很多了，比如KENxKAB=-1，或者EM向量xAB向量等于0，甚至初中学的勾股定理，丨EN丨²+丨AN丨=丨AE丨²
这里我们就讲解KENxKAB=-1和者EM向量xAB向量等于0这两种方法。
方法一：
如图列式求解，可求出t=1或-1，所以t²+1/2=3/2，圆心为E（0，5/2），半径就是丨EN丨
求得丨EN丨=√2，所以圆的方程为：x²+（y-5/2）=2，你以为就这么结束了？大错特错！
KENxKAB=-1的使用条件是斜率存在，此时我们还需要考虑斜率不存在，如图所示：
这种情况应该一眼就能看出圆的半径，这里就给个结果吧，x²+（y-5/2）²=4。
接下来，我们讲方法二：
N（t，t²+1/2），EN向量=（t，t²-2），AB向量与向量（1，a）平行，所以这里我们用（1，a）代替
解释一下为什么AB向量与向量（1，a）平行
因为直线AB的斜率是t，因此直线A'B'的斜率也是t，设直线A'B'：y=tx，取x=1（想取什么就取什么，想张扬个性可以取99999999999），此时y=t，令这个点为F如图
那么向量A'F=（1，t），AB∥A'B'∥A'F。
因为向量EN⊥向量AB，所以向量ENx向量AB=0，把向量AB替换成跟它平行的向量A'F，可以列出以下式子：
t+t（t²-2）=0，求得t=0或1或-1
当t=0时，向量EM=（0，-2），丨EM丨=2，所求圆的方程为x²+（y-5/2）²=4
当t=1或-1时，向量EM=（1，-1）或（-1，-1），丨EM丨=√2，所求圆的方程为x²+（y-5/2）²=2
PS：第一题和第二题都不止一种方法，按实际情况取舍，个人建议第二种方法，无需考虑斜率是否存在。
如果第二题实在想用勾股定理的话自个儿算去。
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