设函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤-3/4a-2
解析:
(1)我们发现f(x)不是什么“特殊的式子”,那么我们直接暴力求导
f'(x)=1/x+2ax+2a+1
到这一步了,我们不要急着去讨论,看见这种x为分母的最好化成像下面这种形式:
f'(x)=1/x+2ax+2a+1=[2ax2+(2a+1)x+1]/x
此时发现分子刚刚好可以用十字相乘法
f'(x)=[(2ax+1)(x+1)]/x,(x>0)
因为x>0,所以分母x以及分子的(x+1)就不需要考虑符号了,我们只需要考虑分子部分的(2ax+1)即可
①a>0,很明显(2ax+1)>0,那么f'(x)>0,所以f(x)在x>0上单调递增
②a=0,情况同上,f(x)在x>0上单调递增
③a<0,(2ax+1)的图像如下图所示:
x=-1/2a>0时,(2ax+1)=0,所以此时,f'(x)在(0,-1/2a)>0,f'(x)在(-1/2a,+∞)<0
因此,f(x)在(0,-1/2a)上单调递增,在(-1/2a,+∞)上单调递减
(2)题目给我们了一个至关重要的条件a<0,之前就说过了,一般情况下,第一题没有多给条件的话第二题会用到第一题的结论
第一题我们证出了a<0时,f(x)在(0,-1/2a)上单调递增,在(-1/2a,+∞)上单调递减
那么它的图像应该是先增后减,说明f(x)在a<0的时候是有最大值的
第二小题让我们证明f(x)≤-3/4a-2,那么我们就只需要证明f(x)的最大值小于等于(-3/4a-2)即可
f(x)max=f(-1/2a)=ln(-1/2a)-1/4a-1
ln(-1/2a)-1/4a-1≤-3/4a-2
移项可得,ln(-1/2a)+1/2a+1≤0
我们只需要证明出来这个式子成立就可以了
这里我们简化一下式子,令-1/2a=t(t>0)
设g(t)=ln(t)-t+1
g'(t)=1/t-1,当t=1时,g'(t)=0,因此,g(t)在(0,1)上单调递增,g(t)在(1,∞)上单调递减,g(1)为最大值,g(1)=0
g(t)≤g(t)max=g(1)=0
所以ln(-1/2a)+1/2a+1≤0
意外收获:当t>0时,ln(t)-t+1≤0,即ln(t)≤t-1
正规解题步骤:
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盐城人才网
Lv.1农民
已经忘到后脑勺了