数学2017年全国高考文科(Ⅲ)第21题解析

设函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当a<0时,证明f(x)≤-3/4a-2

解析:

(1)我们发现f(x)不是什么“特殊的式子”,那么我们直接暴力求导

f'(x)=1/x+2ax+2a+1

到这一步了,我们不要急着去讨论,看见这种x为分母的最好化成像下面这种形式:

f'(x)=1/x+2ax+2a+1=[2ax2+(2a+1)x+1]/x

此时发现分子刚刚好可以用十字相乘法

f'(x)=[(2ax+1)(x+1)]/x,(x>0)

因为x>0,所以分母x以及分子的(x+1)就不需要考虑符号了,我们只需要考虑分子部分的(2ax+1)即可

①a>0,很明显(2ax+1)>0,那么f'(x)>0,所以f(x)在x>0上单调递增

②a=0,情况同上,f(x)在x>0上单调递增

③a<0,(2ax+1)的图像如下图所示:

x=-1/2a>0时,(2ax+1)=0,所以此时,f'(x)在(0,-1/2a)>0,f'(x)在(-1/2a,+∞)<0

因此,f(x)在(0,-1/2a)上单调递增,在(-1/2a,+∞)上单调递减

(2)题目给我们了一个至关重要的条件a<0,之前就说过了,一般情况下,第一题没有多给条件的话第二题会用到第一题的结论

第一题我们证出了a<0时,f(x)在(0,-1/2a)上单调递增,在(-1/2a,+∞)上单调递减

那么它的图像应该是先增后减,说明f(x)在a<0的时候是有最大值的

第二小题让我们证明f(x)≤-3/4a-2,那么我们就只需要证明f(x)的最大值小于等于(-3/4a-2)即可

f(x)max=f(-1/2a)=ln(-1/2a)-1/4a-1

ln(-1/2a)-1/4a-1≤-3/4a-2

移项可得,ln(-1/2a)+1/2a+1≤0

我们只需要证明出来这个式子成立就可以了

这里我们简化一下式子,令-1/2a=t(t>0)

设g(t)=ln(t)-t+1

g'(t)=1/t-1,当t=1时,g'(t)=0,因此,g(t)在(0,1)上单调递增,g(t)在(1,∞)上单调递减,g(1)为最大值,g(1)=0

g(t)≤g(t)max=g(1)=0

所以ln(-1/2a)+1/2a+1≤0

意外收获:当t>0时,ln(t)-t+1≤0,即ln(t)≤t-1


正规解题步骤:



本文标题:数学2017年全国高考文科(Ⅲ)第21题解析
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共有 1 条评论

  1. avatar

    盐城人才网

    Lv.1农民

    已经忘到后脑勺了

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